Geometria Analítica e Álgebra Linear - MGA001

Em álgebra linear, a adjunta de uma matriz quadrada $$M$$, denotada $$adj(M)$$ , é a transposição da matriz dos seus cofatores e satisfaz a relação fundamental  $$M\cdot\text{adj}(M)=\det(M)\cdot I_{n}$$ , onde $$I_n$$ é a matriz identidade de ordem $$n$$.

Tomando determinantes de ambos os lados, obtém-se $$\det(M)\cdot\det(\text{adj(}M))=[\det(M)]^{n},$$ uma propriedade útil para calcular produtos de determinantes sem computar explicitamente a adjunta.

Deste modo, dada a matriz $$\displaylines{M=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\end{matrix}\right)}$$ 

Sobre o produto do determinante de $$M$$ pelo determinante da $$adj(M)$$ é possivel afirmar que:

O determinante de uma matriz $$2\times 2$$ dada por $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$sendo calculado como $$ad-bc$$, e é nulo quando o produto dos elementos da diagonal principal iguala ao dos elementos da diagonal secundária. Operações lineares como multiplicação por escalar e subtração permitem simplificar a matriz resultante para encontrar valores de $$x$$ que zeram esse determinante.

Neste contexto, considere as matrizes A e B:


$$\displaylines{A=\left(\begin{matrix}2 & x\\ 3 & 12\end{matrix}\right)}$$ e $$\displaylines{B=\left(\begin{matrix}6 & 2x-6\\ 10 & 18\end{matrix}\right)}$$  

Define-se $$M=4A-B$$ , logo o valor de $$x$$  para que o determinante de $$M$$  seja nulo é: